दीर्घवृत्त $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$ और वृत्त $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है:

रेखा $y=mx+c$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ को दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है,यदि

$a$ के उन मानों का अंतराल ज्ञात कीजिए जिनके लिए रेखा $x + y = 0$,बिंदु $P \left( \frac{1 + \sqrt{2} a}{2}, \frac{1 - \sqrt{2} a}{2} \right)$ से वृत्त $2x^2 + 2y^2 - (1 + \sqrt{2} a)x - (1 - \sqrt{2} a)y = 0$ पर खींची गई $2$ भिन्न जीवाओं को समद्विभाजित करती है।

वृत्त $C_1$ और $C_2$,जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r$ और $R$ हैं,चित्र में दिखाए अनुसार एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। रेखा $l$,जो $C_1$ और $C_2$ के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के समानांतर है,$C_1$ को $P$ पर स्पर्श करती है और $C_2$ को $A$ और $B$ पर काटती है। यदि $R^2=2r^2$ है,तो $\angle AOB$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि मूल बिंदु पर केंद्र वाला वृत्त एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों से होकर गुजरता है। यदि $A = (2, 4)$ है,तो $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका की लंबाई ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $x=0, y=0$ और $3x+4y-24=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के अंतःवृत्त (incircle) का समीकरण क्या है?